Sólidos geométricos e Escher

Agua, uma riqueza que a natureza nos oferece.Vamos cuidar dela.As futuras gerações agradecem.

Escher usou sólidos geométricos em algumas de suas obras. Na obra "Estrelas" ele usou por exemplo, três octaedros.

Pesquisamos e estudamos, então, as características, as propriedades,área, volume, nome dos termos e a representação de sólidos como: prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas.

Após o estudo em equipe, os alunos construiram diferentes sólidos geométricos, deixando uma mensagem sobre a preservação do meio ambiente em suas faces, visto que, Escher também trabalhou com elementos da Natureza.

Geometria plana x ornamentos x simetria

Deformação de área

Em várias obras, ESCHER trabalhou com a rotação de elementos.

Assim veio conceito de graus, ângulos...

Trabalhando com os alunos o conceito

de simetria - translação, axial e reflexão.

Polígonos nas obras de ESCHER

Assim estudamos os polígonos

Roseta- ornamento contido num círculo

Faixa- ornamento contido em duas retas paralelas

Vimos no transcorrer das atividades algumas palavras que nos remetem aos conceitos intuitivos da Geometria Plana.
Um módulo gira em torno de um ponto, no movimento de rotação.
A faixa é um ornamento que está contida em duas retas paralelas.
Mosaico é um ornamento contido em um plano.
Rosácia é um ornamento contido em um círculo.
Assim foi possível fazer uma revisão completa com o segundo grau sobre:
- ponto
-retas - paralelas, perpendiculares, coincidentes, concorrentes, coplanares, semi-reta, segmento de reta
- circunferência (externa e interna, concêntrica, tangente e secante), círculo, raio, diâmetro, corda.
Continuando os estudos, vimos que na simetria de rotação, temos "a transformação de uma figura girando um de seus pontos segundo um arco de circunferência ao redor de um ponto, percorrendo determinado ângulo."
A partir daí a pesquisa se concentrou no estudo e definição de arco, e todos os tipos de ângulos.
Escher, na fase da metamorfose, fez obras maravilhosas. Ele partia de malhas com polígonos regulares ou não e fazia mudanças até que no final não se percebia mais a presença desses polígonos. Ele fazia essas mudanças sem alterar a área do polígono original.
Assim surgiu a oportunidade de rever o estudo completo das figuras planas (quadriláteros e triângulos, em especial) e área desses polígonos.

Trabalhos de alunos - usando simetria

Nestes trabalhos os alunos cobriram um plano tendo como pano de fundo uma faixa com desenhos se repetindo entre retas paralelas

Roseta é um ornamento contido em um círculo.

Nestes trabalhos, usando o compasso, o aluno trabalhou a idéia de grau uma vez que o módulo gira a partir de um grau, trabalhou a idéia de circunferências concêntricas , raio. ângulo central

Deformação de área

Neste trabalho o aluno, através da dobradura,

indicou os eixos de simetria nos polígonos regulares

Chegando na Simetria

rotação e reflexão nas obras de Escher

Na fase da metamorfose, Escher desenhava malhas na tela em forma de paralelogramos, hexágonos, fazia alterações nessas malhas mas não alterava sua área original. Aí está o seu segredo.

Pode-se observar movimento de módulos em suas obras. Esses movimentos nos levam ao estudo da Simetria.

O que é Simetria?

Simetria é todo movimento de um módulo ou de um objeto sem que este mude sua forma ou tamanho.

Um objeto mostra partes iguais quando submetido a uma operação específica de refexão, translação ou rotação.

Simetria de Translação - o módulo se repete ao longo de duas "retas paralelas".

Simetria de Reflexão - um eixo separa o módulo em duas partes iguais ou então, um objeto mantém a forma e o tamanho, mas muda a posição.Podemos observar o seguinte: a) um "ponto" e seu "simétrico" são eqüidistantes em relação ao eixo de simetria. b) os segmentos que unem um ponto ao seu simétrico (imagem) são "perpendiculares" ao eixo de simetria e "paralelos" entre si. c) o ponto de intersecção entre cada "segmento" e o eixo de simetria é o "ponto médio" do segmento.

Simetria de Rotação - é a transformação de uma figura que obtemos girando cada um de seus pontos segundo um "arco" de "circunferência" ao redor de um ponto percorrendo um determinado "ângulo".

Simetria Central - ocorre a partir de um ponto. É um caso especial da simetria de rotação.

Simetria Axial - reconhecemos a simetria axial pela presença de um eixo de simetria. O eixo de simetria representa também a "mediatriz".

Pelos conceitos dos diferentes tipos de simetria, chegamos aos ornamentos.

Faixa - ornamento contido em duas "retas paralelas". A operação fundamental é a translação.

Roseta - é um ornamento contido em um "círculo". A operação fundamental é a rotação.

Mosaico. é um ornamento contido em um "plano".

,E assim chegamos à geometria plana e espacial.

Caminhando pelas obras de Escher

Caminhando pelas obras de Maurits Cornelis Escher chegamos à Simetria que nos levou ao estudo da geometria plana e espacial. Olhe como esse caminho é interessante !

Escher, nas suas obras, trabalhava com várias idéias, como por exemplo: perspectiva, ilusão de óptica, aproximação com o infinito, metamorfose, paradoxos e paisagens.Isso nos levou a um trabalho inicial de pesquisa:

"O que é ilusão de óptica?" São ilusões que "enganam" o sistema visual humano.

"O que são paradoxos?" O paradoxo pode ser um argumento que, apesar de aparentemente correto, apresenta uma conclusão ou conseqüência contraditória.

Definido o conceito de paradoxo pesquisamos a presença desse conceito na matemática. Assim chegamos a Gödel. Partindo do paradoxo de Epimênides que dizia "os que nascem na ilha de Creta sempre mentem" desenvolveu o Teorema da Incompletude, onde afirma que as formulações verdadeiras na teoria dos números incluem proposições indemonstráveis.

Já George Cantor, demonstrou de que a totalidade de um conjunto infinito não tem de ser maior do que suas partes, partindo do paradoxo da "Tartaruga e Aquiles" de Zenão que trabalha a idéia do Infinito e visa a desacreditação do movimento "contínuo".

Após essas pesquisas voltamos às obras de Escher e focalizamos nossa atenção nas obras sobre Metamorfoses.

Mas o que são essas Metamorfoses?

As Metamorfoses referem-se às transformações do bidimensional no tridimensional. A partir de malhas com polígonos regulares ou não, ele fazia mudanças, sem alterar a área do polígono original.

Obras de Escher

Anjos e Demônios

Pombos

Estrela

Escher usou três octaedros para fazer a figura central

Perspectiva -

representação do espaço tridimensional numa superfície plana

lagartos

"Caminhando para onde?"

Dia e Noite
"Os campos lavrados,
elevam-se em direção ao céu
e se transformam, aos poucos,
em aves brancas e pretas. "

mãos (paradoxos visuais)

Que mão pinta que mão?

Cascata (ilusão de óptica)

Uruburo (paradoxo visual)

baseado no paradoxo de Alan Watts que dizia:

"Tentar definir a sí mesmo é como morder os próprios dentes."



Os desenhos de Escher não nasciam de passes de mágica. Suas obras estão apoiadas em conceitos matemáticos, relacionados principalmente com a geometria.

Maurits Cornelis Escher

Nasceu na Holanda em 17/06/1898. Frequentou a Escola de Arquitetura e Artes Decorativas. Uma das principais contribuições deste artista está em gerar imagens com impressionantes efeitos de ilusão óptica com notável qualidade técnica e estética, tudo isto, respeitando as regras geométricas do desenho e da perspectiva. Após uma visita à espanha o artista conheceu e seu encantou pelos mosaicos que haviam nas mesquitas do lugar. Este foi o ponto de partida para os seus trabalhos mais impressionantes e famosos, que consistiam no preenchimento regular do plano, normalmente utilizando imagens figurativas e não geométricas. A partir de uma malha de polígonos regulares ou não, Escher fazia mudanças mas sem alterar a área do polígono original. Assim surgiam figuras de homens, peixes, aves, lagartos,todos envolvidos de tal forma que nenhum poderia mais se mexer. Destacam-se também os trabalhos do artista que exploram o espaço. Criava figuras impossíveis, representações distorcidas e paradoxos.